Übungsaufgabe 12

Ein Reihenschwingkreis aus L = 0,2 mH und C = 500 pF nimmt einen Resonnanzstrom I_R = 1,0 A auf. Bei C - Änderung um ±10 pF geht der Strom auf 0,707 A zurück.

Berechnen Sie bitte die Resonanzfrequenz f₀!
Ihre Antwort: f₀ = kHz
Nicht Ihre Lösung? Haben Sie nicht diese einfache Formel benutzt?
Bitte bestimmen Sie den Widerstand R . Fehlt Ihnen der Ansatz? Oder fehlt die Präzision im Kopf, um daraus eine Formel zu machen? Immer noch kein Plan? Ihre Antwort: R = Ω
Zum Rechnen haben Sie hoffentlich diese Formeln benutzt, oder?
Bitte bestimmen Sie die Güte Q und die Bandbreite.
Ihre 1. Antwort: Q =
Ihre 2. Antwort: B = kHz

Zum Rechnen haben Sie natürlich diese Formel benutzt...
Bitte bestimmen Sie die Spannung U_L an der Induktivität bei Resonanz
Ihre Antwort: U_L = V Brauchen Sie dazu auch noch Hilfe ?

Aus der Grundschule wissen Sie:

ω_{0} = 1 / \sqrt{L C}

Bis auf einen Faktor von 6.283 ist das die Antwort.

Die seltsam anmutende Amperezahl in der Aufgabenstellung weist auf eine Faktor Wurzel aus Zwei und damit auf die Grenzfrequenz hin.
Des Einen Resonanzfrequenz ist also des Anderen Grenzfrequenz.

"Des Einen Resonanzfrequenz ist des Anderen Grenzfrequenz" heißt:

\begin{matrix} \frac{| \underset{̲}{I} (ω_{0}, C_{0}) |}{| \underset{̲}{I} (ω_{0}, C_{1}) |} = \sqrt{2} \end{matrix}

Dabei bezeichnet der Index 0 den ursprünglichen Schwingkreis.

Man kann den Strom als

\begin{matrix} | \underset{̲}{I} | = \frac{\hat{U}}{R \cdot \sqrt{1 + Q^{2} v^{2}}} \end{matrix}

schreiben und dabei erkennen, dass die gesamte Variation mit der Frequenz im Term Qv liegt. In Resonanz verschwindet dieser, bei der Grenzfrequenz gilt

\sqrt{1 + Q^{2} v^{2}} = \sqrt{2}

.
Scharfes Hinsehen zeigt, das der rechte Term in der Wurzel dann genau gleich Eins sein muss.

Wir wissen, dass die Verstimmung immer relativ zur Resonanzfrequenz

ω_{0} = 1 / \sqrt{L C} definiert ist.
 Daher kann man auch schreiben: \begin{matrix} v_{1} = (\frac{ω_{0}}{ω_{1}} - \frac{ω_{1}}{ω_{0}}) = (\sqrt{\frac{C_{1}}{C_{0}}} - \sqrt{\frac{C_{0}}{C_{1}}}) \end{matrix} Es gilt ebenfalls

\begin{matrix} Q_{1} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C_{1}}} \end{matrix}

und das Produkt soll ja genau gleich Eins sein.
Der Rest ist Routine...

Das wussten Sie eigentlich schon:

\begin{matrix} Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \end{matrix}

und R kennen Sie ja schon, und das Verhältnis von Resonanzfrequenz zu Bandbreite heißt Güte.

Dann wollen Sie eindeutig zu viel Hilfe!

Sie Komiker!

Sehr gut