Übungsaufgabe 5

Die für niedrige Frequenzen an 50 Ω angepasste, aus einer Spule und zwei gleichen Kondensatoren bestehende Π-Schaltung soll zur Dämpfung hoher Frequenzen eingesetzt werden. Der Spannungsübertrag habe im lastfreien Fall einen Pol bei einer Frequenz von f_Pol = 100 kHz.

Bestimmen Sie bitte L und C ! Verstehen Sie die Bedingung mit dem Pol bei 100 kHz nicht? Oder können sie daraus keine Formel für den Pol herleiten? Können Sie nichts mit der Anpassungsbedingung anfangen? Ihre 1. Antwort: C = nF
Ihre 2. Antwort: L = mH Nicht Ihre Lösung? Haben Sie nicht diese Formeln benutzt?
Wie groß ist der Betrag der Spannungsübertragung |u₂ /u₁| bei f = 100 kHz, wenn die Schaltung ausgangsseitig mit 50 Ω belastet wird? Um welchen Winkel ist die Ausgangsspannung hier relativ zur Eingangsspannung verschoben? Kleiner Tipp nötig? Ihre 3. Antwort: |u₂ /u₁| =
Zum Rechnen haben Sie hoffentlich diese Formel benutzt, oder? Und der Winkel ist
Ihre 4. Antwort: φ = - ^o
Zur Sicherheit: hier ist die Formel.

Allgemein ist hier der Spannungsübertrag

\begin{matrix} \frac{\underset{̲}{u}_{2}}{\underset{̲}{u}_{1}} = \frac{1}{1 - ω^{2} L C + j ω L / R_{L}} \end{matrix}

Im lastfreien Fall fällt der Term rechts unten weg.

Die lautet natürlich

ω_{P o l} = 1 / \sqrt{L C}

Bei kleinen Frequenzen an 50 Ω angepasst heißt, dass bei einer am Ausgang angeschlossenen Last von 50 Ω der Eingangswiderstand ebenfalls 50 Ω beträgt. Das allgemein für die Π-Schaltung bekannte Ergebnis liefert

R_{0} = \sqrt{L / (2 C)}

Mit Hilfe der Pol- und der Anpassungsbedingungen erhält man:

C = 1 / (R ω_{P o l} \sqrt{2})

und

L = (\sqrt{2} \cdot R) / ω_{P o l}

Die Schaltung wird der Polfrequenz ausgesetzt. Daher bleibt von

\begin{matrix} \frac{\underset{̲}{u}_{2}}{\underset{̲}{u}_{1}} = \frac{1}{1 - ω^{2} L C + j ω L / R_{L}} \end{matrix}

nur ein kleiner Teil übrig!

In diesem Falle lautet der Spannungsübertrag

\begin{matrix} \frac{\underset{̲}{u}_{2}}{\underset{̲}{u}_{1}} = \frac{R_{0}}{ω_{P o l} L} = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}

Der allgemeine Ansatz ist

ϕ = \arctan [ℑ (\underset{̲}{T}) / ℜ (\underset{̲}{T})]

mit einem in diesem Falle negativen Imaginärteil und einem Realteil der bei der Resonanzfrequenz verschwindet. Man muss nur noch wissen, dass der Arcus-Tangens einer sehr großen negativen Zahl -90^o ist.

Oh je!

Belohnung!